精度と誤差

半径ｒを測定して円の面積Ｓを求めるシチュエーションを考えます。
とりあえずπ、半径ｒ、誤差としてｒの比率をαとします。
\[ \begin{eqnarray*} S&=&\pi(r(1+\alpha))^2\\ &=&\pi(r+r\alpha)^2\\ &=&\pi(r^2+2r^2\alpha+r^2\alpha^2)\\ &=&\pi(r^2+2r^2\alpha+r^2\alpha^2)\\ &=&\pi r^2+2\pi r^2\alpha+\pi r^2\alpha^2\\ \end{eqnarray*} \]
公式での円の面積（真値）は
\[ 真値=\pi r^2 \]
真値を基準にした誤差の比率は
\[ \begin{eqnarray*} 比率&=&\displaystyle \frac{S}{真値}-1\\ &=&\displaystyle \frac{\pi r^2+2\pi r^2\alpha+\pi r^2\alpha^2}{\pi r^2}-1\\ &=&\displaystyle \frac{\pi r^2}{\pi r^2}+\frac{2\pi r^2\alpha}{\pi r^2}+\frac{\pi r^2\alpha^2}{\pi r^2}-1\\ &=&\displaystyle 1+2\alpha+\alpha^2-1\\ &=&\displaystyle 2\alpha+\alpha^2 \end{eqnarray*} \]
例えばα＝０．０１（１％）とすると
\[ \begin{eqnarray*} 比率&=&\displaystyle 2\alpha+\alpha^2\\ &=&\displaystyle 2(0.01)+(0.01)^2\\ &=&\displaystyle 0.02+0.0001\\ &=&\displaystyle 0.0201 \end{eqnarray*} \]
うん、ほぼ２倍だコレ。 測定の誤差が１％であれば面積の誤差は約２％（少し多い）。